数学逻辑 家庭作业帮助服务 - Assignment Help

数学逻辑家庭作业帮助

数学逻辑是数学的子领域,探索形式逻辑对数学的应用。它与元化学,数学基础和理论计算机科学密切相关。[1]数学逻辑中的统一主题包括对正式系统的表达力的研究和正式证明系统的演绎力。

数学逻辑通常分为集合理论,模型理论,递归理论和证明理论等领域。这些领域在逻辑,特别是一阶逻辑和可定义性方面共享基本结果。在计算机科学(特别是在ACM分类中)数学逻辑包括本文中未详述的其他主题;见计算机科学中的逻辑。

自从成立以来,数学逻辑既促进了数学基础的研究,又促进了数学基础的研究。这项研究开始于19世纪后期,随着几何,算术和分析的公理框架的发展。在20世纪初,它由David Hilbert的程序塑造,以证明基础理论的一致性。 KurtGödel,Gerhard Gentzen和其他人的结果提供了部分解决方案,并澄清了证明一致性的问题。在集合理论中的工作表明,几乎所有普通数学可以在集合方面形式化,虽然有一些定理不能在集合理论的通用公理系统中被证明。在数学基础上的当代工作经常侧重于确定数学的哪些部分可以在特定的正式系统中形式化(如在反向数学中),而不是试图找到可以开发所有数学的理论。

在19世纪,数学家意识到在他们的领域的逻辑差距和不一致。这表明,几个世纪以来作为公理方法实例教导的几何学的欧几里德公理是不完整的。无限小动物的使用以及功能的定义在分析中引起了质疑,因为发现了诸如Weierstrass的无法区分的连续功能的病理实例。

Cantor对任意无限集的研究也引起了批评。利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)着名地说:“上帝制造了整体;其他都是人的工作”,赞同回到对数学中有限,具体对象的研究。虽然克罗内克的论点在20世纪被建构主义者所推动,但数学界整体拒绝了他们。大卫希尔伯特主张研究无限,说“没有人会把我们从Cantor创造的天堂中驱逐出去”。

数学家开始寻找可用于将大部分数学形式化的公理系统。除了从先前的天真术语如功能消除歧义,希望这种公理化将允许一致性证明。在19世纪,证明一组公理的一致性的主要方法是为它提供一个模型。因此,例如,非欧几里德几何可以通过将点定义为固定球上的点和线以表示球上的大圆来证明是一致的。所得到的结构,椭圆几何的模型,满足平面几何的公理,除了平行的假设。

随着形式逻辑的发展,希尔伯特询问是否可能通过分析系统中可能的证据的结构来证明公理系统是一致的,并且通过该分析表明不可能证明矛盾。这个想法导致了证明论的研究。此外,希尔伯特提议分析应该是完全具体的,使用术语“有限的”来指他允许的方法,但不是精确地定义它们。这个项目,被称为希尔伯特的程序,严重影响了哥德尔的不完全定理,这表明形式理论的算术的一致性不能使用这些理论中可形式化的方法建立。 Gentzen表明,有可能产生一个证据的算术的一致性系统增加了公式的transfinite诱导,他开发的技术是开创性的证明论。

数学基础史的第二个线索涉及非古典逻辑和建设性数学。建构数学的研究包括许多不同的程序与各种建设性的定义。在最宽容的一端,不使用选择公理的ZF集合理论中的证据被许多数学家称为建设性的。更有限的建构主义版本将自身局限于自然数,数论理论函数和自然数集合(可用于表示实数,便于数学分析的研究)。一个共同的想法是,在函数本身可以说存在之前,必须知道计算函数值的具体方法。

在20世纪初,Luitzen Egbertus Jan Brouwer建立了直觉主义作为数学哲学。这个哲学,起初很少了解,指出,为了一个数学陈述是真实的数学家,该人必须能够直观的声明,不仅相信其真理,而且理解其真理的原因。这种对真理的定义的结果是拒绝被排除的中间人的法律,因为根据布鲁威尔的说法,不能声称是真实的,而他们的否定也不能被声称真实。 Brouwer的哲学是有影响力的,并且是着名数学家之间的激烈争论的原因。后来,Kleene和Kreisel将研究直觉主义逻辑的形式化版本(Brouwer拒绝正式化,并以非形式化自然语言提出他的工作)。随着BHK解释和Kripke模型的出现,直觉主义变得更容易与经典数学协调。

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Posted on March 18, 2017 in 数学

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